复数加法和减法#

复数的加减法运算遵循以下规则进行：

复数乘法#

复数乘法遵循以下规则进行：

复数除法#

复数除法遵循以下规则进行：

一般方程转复数方程#

对于一般方程 $Ax + By + C = 0$（$Ax + By = C$），若要将其转化为复数形式，只需将以下两个式子代入到原方程中：

• $\displaystyle x = \frac{z + \bar{z}}{2}$
• $\displaystyle y = \frac{z-\bar{z}}{2i}$

随后，化简为形如 $Dz + E\bar{z} + F = 0$ 的形式即可。

复数方程转直角坐标方程方程#

面对「将 $\Re(A + \bar{z}) = B$ 或 $\Re(A + z) = B$ 化为直角方程」类题，只需将以下两个式子代入原方程：

• $z = x + yi$
• $\bar{z} = x - yi$

随后，将求出的实部代入回题中 $\Re$ ，求出 x = … 或 y = … 即为直角坐标方程。

参数方程转复数方程#

对于形如 $\displaystyle \begin{cases} x &=& \dots \\ y &=& \dots\end{cases}$ 的参数方程，若要求其复数方程，仅需将该方程直接代入到 $z = x + yi$ 并进行化简即可。

复数方程化参数方程#

对于一个形如 $z = A + Bi$ 的方程，若要将其转化为参数方程，只需从原方程中分离出实部和虚部，并写成 $\displaystyle \begin{cases} x &=& \text{实部} \\ y &=& \text{虚部}\end{cases}$

例如，对于 $z = (1 + i)t + 2 + i$，将其展开可得到实部为 $t + 2$，虚部为 $t + i$，则可得到参数方程：

已知复数方程求象#

已知某一复数方程 $z = \dots$，则其映射的象有 $\text{w} = z^2$

已知辐角主值范围求象#

已知一复数的辐角主值为 $A < \arg(z) < B$，求其在映射方程 $\text{w} = z^2$ 下的象，只需遵循以下方法：

1. 设 $z = re^{i\theta}$，将其代入映射方程 $\text{w} = z^2$

2. 用 $\theta$ 表示 $\arg(\text{w})$ $\arg(\text{w}) = \text{上一步中求的的 e 的次方内的 i 的系数}$ 例如在这一例题的映射方程下，第一步代入得到 $\text{w} = r^2 e^{2\theta \times i}$，则这一步中 $\arg(\text{w}) = 2\theta$

3. 计算：$\arg(\text{w}) = \dfrac{\arg{(\text{w})}}{\theta} \times \arg(z)$ 并将题中范围代入即可

已知 $x, y$ 表示的方程，求象#

已知某一方程，要求其在映射方程下的象。例如已知 $2(x^2 + y^2) + 3x - 4y +1 = 0$，求其在映射 $\text{w} = \dfrac{1}{z}$ 下的象：

1. 获得映射方程的反函数（$z = \dfrac{1}{\text{w}}$，即将 $\text{w} = \dots$ 化为 $z = \dots$ 形式），并将 $z = x + yi, \text{w} = u + vi$ 代入其中。
2. 用式子右侧实部和虚部表示左侧 x, y。在此例题中，上一步代入得到 $\displaystyle x + yi = \frac{1}{u + vi}$，分母合理化后为 $x + yi = \dfrac{u}{u^2 + v^2} + \dfrac{-v}{u^2 + v^2} i$，则有以下情况：
   • $x = \dfrac{u}{u^2 + v^2}$
   • $y = \dfrac{-v}{u^2 + v^2}$
3. 将第二步得到的 $x,y$ 代回原方程，化简即可。