复变函数｜初等函数

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复变函数｜初等函数

2025-12-30

复变函数

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Final Exam

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Tech & Aca

复变初等函数#

三角函数#

在复变三角函数中，有以下需记住的公式：

$\sin z = \dfrac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$
$\cos z = \dfrac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$

:::NOTE]

在复变函数中， $\sin z, \cos z$ 的取值范围为 $(-∞, + ∞)$ ，而非 $[-1, 1]$

在求某复数的三角函数时（例如求 $\cos 2i$ 的三角函数时，代入上方公式即可。

对数函数#

在复变对数函数中，有以下需要记住的公式：

$\text{Ln}z = \ln |z| + i\arg(z) + 2k\pi i$ 其中 $|z| = \sqrt{\text{实部}^2 + \text{i 前系数}^2}$ 对于特殊 $|e^z| = e^x$

在已知 $z = \dots$ ，求 $\text{Ln}z$ 的题目中，将上式代入即可。

CAUTION
若题目为已知 $z = \dots$ ，求 $\ln z$ 或求 $\text{Ln} z$ 的主值，则其所求为上式的前半部分：
$\text{Ln}z = \ln |z| + i\arg(z)$

指数函数#

求复变指数函数#

在复变指数函数中，存在以下公式：

$e^z = e^x \times (\cos y + i\sin y)$

若题中已知 $z = \dots$ ，则将 z 代入上方公式即可。或题中要直接计算 $e^{x+yi}$ ，也可直接代入上式即可。

CAUTION
对于特殊有 $|e^z| = e^x$
$e^z$ 是周期函数，有 $e^{z + 2k\pi i} = e^z$

从指数函数求 $z$ #

情景例题：已知 $e^z - 1 - i = 0$ ，若要求 $z$ ，遵循以下步骤即可：

将原式移项，变为 $e^{\text{█}z} = 1 + i$ 的格式。
等式两侧同时取 $\text{Ln}$ ： $\text{Ln}(e^z) = \text{Ln}(1+i)$
由对数性质（ $\begin{array}{l}\log_x(x^b) = b, &b \ne 0 \end{array}$ ）可得：

$\begin{array}{l} z &=& \text{Ln(1 + i)} \\ z &=& \ln{\sqrt{2}} + \dfrac{\pi}{4} i + 2k\pi i, &k = 0, \pm1, \pm2, \dots \end{array}$

NOTE
对于相对复杂的题目场景，若无法通过移项直接得到 $e^{\text{█}z}$ ，可以通过在等式两侧同时乘以的形式构建。
例如对于 $e^{iz} - 2e^{-iz} = 0$ 的题目，可以通过左右同乘 $e^{iz}$ 的形式，构建以下式子并化简：
$\begin{align*}e^{iz} (e^{iz} - 2e^{-iz}) &= e^{iz} \times 0 \\ e^{2iz} - 2 &=0 \\ e^{2iz} &= 2 \end{align*}$

幂函数#

TIP
本章节内容（需记忆）较多，若时间紧迫可选择先跳过。

设存在一复数 $z = a + bi$ ，若要计算其幂函数 $z^\alpha$ ，有如下公式

α 为整数时，按照实数规则整场计算即可。
α 为分数时，有： $\begin{array}{l} z^{\frac{m}{n}} = r^{\frac{m}{n}} \Bigg[\cos \dfrac{m(\theta + 2k\pi)}{n} + i \times \sin \dfrac{m(\theta + 2k\pi)}{n}\Bigg], & k = 0,1,2,\dots n-1 \end{array}$
α 为其他情况（例如 α 为复数 $i$ 时，有： $\begin{align*}z^α &= e^{α \times \text{Ln}z} \\ &= e^{a \times [\ln|z| + i\arg(z) + 2k\pi i]} \end{align*}$

NOTE
最后，若 α 为负数，则先按照其绝对值形式参照上述三种办法进行求解，并在最终结果位置变为倒数，即为最终答案。

NOTE
注意， $0^α = 0$ 依然成立。

解析和调和#

复函数导数#

一般形式复函数求导#

对于形如 $f(z) = u(x,y) + v(x,y) i$ 的一般复函数，其求导方法为：

$f(z) = u'(x,y) + v'(x,y)i$

其中 $u'(x)$ 和 $v'(x)$ 指各部分分别对 $x$ 求导。

例如对于 $f(x) = x^2 + 2y + 2(x + y)i$ ，若要求 $f'(x)$ ，按照上面的公式有如下解：

分别求实部和虚部关于 x 的导函数，有：

$u'(x,y) = 2x$
$v'(x,y) = 2$

得出：

$f'(x) = 2x + 2i$

TIP
面对 $u(x,y)$ 中含有 y 或其他字符的情况时，仅需记住：求关于 🟥 的导数，则除了 🟥 之外的任何字符都当作常数 $C$ 看待。
例如对于 $u(x,y) = 2xy + x + 4y + 3$ ，则其中 y 视为常数：
$u(x,y) = (2y+1) \times x + (4y+3)$
正常计算导数，可得出：
$u'(x,y) = 2y+1$

$f(z) = █z$ 形式复函数求导#

对于 f(x) 中没有 x，y 的复函数，其求导方式与常规实数求导无异，固定求导法则也与常规求导法则相同：

$(e^z)' = e^z$
$(\text{Ln}z)' = \dfrac{1}{z}$
$(z^α)' = α z^{α-1}$
$(\sin z)' = \cos z$
$(\cos z)' = -\sin z$
$[f(z)\cdot g(z)]' = f'(x)g(x) + g'(x)f(x)$
$\displaystyle \Bigg[\frac{f(z)}{g(z)}\Bigg]' = \frac{f'(z)g(z) - g'(z)f(z)}{g^2(z)}$

判断函数的可导和解析#

形如 $f(x) = u(x,y) + v(x,y)i$ 的复函数，判定可导和解析有如下公式：

在满足 $\begin{cases}u_x' = v_y' \\u_y' = -v_x'\end{cases}$ 处可导；
若 $\begin{cases}u_x' = v_y' \\u_y' = -v_x'\end{cases}$ 时，最终化简结果为 $\begin{cases}x = x \\ y = y\end{cases}$ ，则在 $(x,y)$ 取值范围内解析，否则处处不解析。

NOTE
若已知某函数在某范围解析，求其中的某未知数值；则依然将函数构建出 $\begin{cases}u_x' = v_y' \\u_y' = -v_x'\end{cases}$ 格式，并在最终化简的两个式子里构建未知数，使最终式有 $\begin{cases}x = x \\ y = y\end{cases}$ 即可。

证明函数为调和函数#

设有函数 $u(x,y)$ ，调和函数需要满足以下条件：

$u_{xx}'', u_{xy}'', u_{yx}'', u_{yy}''$ 都连续；
$u_{xx}'' + u_{yy}'' = 0$

其中 xx 和 yy 为对 x 或 y 的二次求导；xy 和 yx 为先对 x / y 求导，然后再对另一个求导。

TIP
连续：即函数在其定义域内不存在断点。
IMPORTANT
特别注意的是，形如 $f(x) = \dfrac{1}{x}$ 的函数中，虽然函数被分为 $x0$ 和 $x<0$ 部分， $x=0$ 处中断，但因为 $x=0$ 不属于 $f(x)$ 的定义域，因此 $f(x) = \dfrac{1}{x}$ 依然是连续函数。